実現可能局面数(2)

research shogi

実現可能局面の下からの評価は一日一題にあるので参考に。
最終的には、玉位置の組み合わせで場合分けして評価するしかないのかなと思っています。
評価の前段階として、5五将棋の局面数の評価をしてみても良いかもしれません。
5五将棋は、5×5の盤面と、玉、飛、角、金、銀、歩が各2枚で行います。上界、下界を簡単に評価してみましょう。

上界

玉位置の組み合わせは456通り。
その他の駒の配置は先後と成生の組み合わせと持駒の配分を考えて、

  • 金は
    3${\bigsum_{j=0}^{2}} \({\atop~{23}{j}}\) 2^j(3-j)=1107
  • その他は
    3${\bigsum_{i=0}^{2}} \({\atop~{23}{i}}\) 4^i(3-i)=4253

よりも小さい。
したがって、実現可能局面数Nは高々、
N < 2\times456\times4253^4\times1107
=330,311,725,034,974,832,304 < 3.31\times10^{20}
である。*1

下界

各玉位置に対して残りの駒を全て持駒とすると、
N>2\times456\times3\times3\times3\times3\times3=221616>2.2\times10^5

大雑把過ぎるのであとで改良してみます。

*1:計算ミスがあったので修正。12/16