2023-12-20

アンビグラムの数学的定義（β版）を読み解いてみる

tsukene氏による定義

グリフ $(X,x)$ とは、平面上の図形 $X$ と、それを認識した文字/単語/文 $x$ の対とします。平面の等長変換すべてからなる群を $E$ 、平行移動すべてからなる部分群を $T$ とします。

$T$ の部分群 $G$ が、平面上の図形 $X$ を「重なりなくタイルする」とは、 $G$ の任意の元 $g$ (≠単位元)について、 $g(X)$ と $X$ に共通部分がないこと、とします。このとき $g(X) (g \in G)$ すべての合併を $G(X)$ と書きます。

平面 $n$ 個の非交和を $R_n$ とおき、平面上の図形 $n$ 個の列 $(X_1, \ldots , X_n)$ を、 $R_n$ の部分集合とみなします。

$R_n$ の、 $n$ 個の平面を入れ替える写像( $n!$ 個ある)と、各平面の等長変換すべてから生成される群を $E_n$ とおきます（ $n$ 個の $E$ の輪積と呼ばれるものになります）。

グリフ $n$ 個の列 $X=\{(X_1,x_1) , \ldots , (X_n,x_n)\}$ について、 $T$ の部分群 $G_i$ が各 $X_i$ を重なりなくタイルするとします。

このとき $X$ が $(G_1 , \ldots , G_n)$ アンビグラムであるとは、 $R_n$ の部分集合 $(G_1(X_1), \ldots , G_n(X_n))$ を不変にする $E_n$ の元からなる群が、 $G_1 \times \ldots \times G_n$ (直積)より真に大きくなること。

読んでみる

$n=2$ で考える。

平面2個の非交和を $R_2$ とおき、平面上の図形2個の列 $(X_1, X_2)$ を、 $R_2$ の部分集合とみなします。

非交和を考えるということで、ちょっと単純化します。部分平面、離散的にして、敷詰を考えないこととします。ここでは $2 \times 2$ のマス目で考えてみましょう。（以下マス目を点とみなします）

平面を $A_0,A_1$ とし、平面の各点は $a_k, 0 \leq k \leq 3\$ で表します。

非交和の元となる順序対を $A^*$ と書き、「Aのコピー」と呼びます。 $A_0$ の点のものは $(a_k,0)$ （第二要素の $0$ は $A_0$ から持ってきた点の意味）、 $A_1$ については $(a_k,1)$ と書けます。 $A^*_0=\{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0)\}$ 、 $A^*_0=\{(a_0,1),(a_1,1),(a_2,1),(a_3,1)\}$ です。

このとき $A_0,A_1$ の非交和 $A_0 \sqcup A_1$ は $A_0 \sqcup A_1 = \{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0),(a_0,1),(a_1,1),(a_2,1),(a_3,1)\}$ となります（定義ではこれを $R_2$ としています）。

普通は平面 $A_0$ 上の図形は $A_0=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$ の部分集合と考えるところですが、コピー $A^*_0=\{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0)\}$ の部分集合であるとすれば、自然に図形は $A_0 \sqcup A_1$ の部分集合となります。

$R_2$ の、 $2$ 個の平面を入れ替える写像( $2$ 個ある)と、各平面の等長変換すべてから生成される群を $E_2$ とおきます（ $2$ 個の $E$ の輪積と呼ばれるものになります）。

「等長変換すべて」を $\pi/2$ 単位回転の4つに絞って考えておきます。つまり $E=\{0,\pi/2,\pi,3\pi/2\}$ となります。ここでは $E=\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ と書いておきます。入れ替える写像とは、 $(0,1)\to(0,1)$ と $(0,1)\to(1,0)$ の2つと考えればよいでしょう。二つの写像は $F=(f_0,f_1)$ と書きましょう。

$F$ と $E$ の直積集合 $F\times E$ は $F\times E=\{(f_0,e_0),(f_0,e_1),(f_0,e_2),(f_0,e_3),(f_1,e_0),(f_1,e_1),(f_1,e_2),(f_1,e_3)\}$ となります。

（手記はここで途切れている）

2009-05-14

私の本が出ます！

別研究室で書きましたが、本が出ます！
いよいよ明日です。よかったら買ってね。

逆立ちしても読める本アンビグラム作品集

作者: 五十嵐龍也
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2009-04-02

昨日の記事はエイプリルフールネタです。

漢字ホモロジー群の・・・上の方にまとめリンクがあります。
日本形態再生研究所の・・・形態再生＝ゲシュタルト再生
伊賀刻伸所長・・・いがときしん(igatoxin)
(A)や(B)のグループの方が(C)のグループよりも再生能力が1.5倍高い結果・・・定義を見れば分かるが、再生能力を表す数値というのは常にゼロ。
形態認識の能力が向上する可能性がある・・・まあ、可能性はあるよね。

実際にはどうかというのは興味があるところ。

2009-04-01

アンビグラムで頭がよくなる！？

こんな記事が。

　漢字ホモロジー群の権威で、日本形態再生研究所の伊賀刻伸所長は1日、アンビグラムに関する調査結果を発表した。
　アンビグラムについて、(A)定期的に作る人(B)作らないが鑑賞する人(C)それ以外の人の3グループに分けててゲシュタルト再生実験を行い、(A)や(B)のグループの方が(C)のグループよりも再生能力が1.5倍高い結果が現れたという。この結果に基づき伊賀所長は、「アンビグラムを見たり作ったりすることで、形態認識の能力が向上する可能性があることが示された。是非アンビグラムに触れてほしい」とコメントした。
　ゲシュタルト再生能力は、いくつかの文字様の図形を見て、全図形数のうち図形が見えなかった割合を誤認率として数値化する。この数値が小さい方が再生能力が高いと定義している。
見て作って頭がよくなる？「アンビグラム」に脳活性化の効果

ほうほう。これはおもしろい。
天使と悪魔の映画も公開されるし、皆さんも是非。