アンビグラムの数学的定義（β版）を読み解いてみる

tsukene氏による定義

グリフ $(X,x)$ とは、平面上の図形 $X$ と、それを認識した文字/単語/文 $x$ の対とします。平面の等長変換すべてからなる群を $E$ 、平行移動すべてからなる部分群を $T$ とします。

$T$ の部分群 $G$ が、平面上の図形 $X$ を「重なりなくタイルする」とは、 $G$ の任意の元 $g$ (≠単位元)について、 $g(X)$ と $X$ に共通部分がないこと、とします。このとき $g(X) (g \in G)$ すべての合併を $G(X)$ と書きます。

平面 $n$ 個の非交和を $R_n$ とおき、平面上の図形 $n$ 個の列 $(X_1, \ldots , X_n)$ を、 $R_n$ の部分集合とみなします。

$R_n$ の、 $n$ 個の平面を入れ替える写像( $n!$ 個ある)と、各平面の等長変換すべてから生成される群を $E_n$ とおきます（ $n$ 個の $E$ の輪積と呼ばれるものになります）。

グリフ $n$ 個の列 $X=\{(X_1,x_1) , \ldots , (X_n,x_n)\}$ について、 $T$ の部分群 $G_i$ が各 $X_i$ を重なりなくタイルするとします。

このとき $X$ が $(G_1 , \ldots , G_n)$ アンビグラムであるとは、 $R_n$ の部分集合 $(G_1(X_1), \ldots , G_n(X_n))$ を不変にする $E_n$ の元からなる群が、 $G_1 \times \ldots \times G_n$ (直積)より真に大きくなること。

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$n=2$ で考える。

平面2個の非交和を $R_2$ とおき、平面上の図形2個の列 $(X_1, X_2)$ を、 $R_2$ の部分集合とみなします。

非交和を考えるということで、ちょっと単純化します。部分平面、離散的にして、敷詰を考えないこととします。ここでは $2 \times 2$ のマス目で考えてみましょう。（以下マス目を点とみなします）

平面を $A_0,A_1$ とし、平面の各点は $a_k, 0 \leq k \leq 3\$ で表します。

非交和の元となる順序対を $A^*$ と書き、「Aのコピー」と呼びます。 $A_0$ の点のものは $(a_k,0)$ （第二要素の $0$ は $A_0$ から持ってきた点の意味）、 $A_1$ については $(a_k,1)$ と書けます。 $A^*_0=\{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0)\}$ 、 $A^*_0=\{(a_0,1),(a_1,1),(a_2,1),(a_3,1)\}$ です。

このとき $A_0,A_1$ の非交和 $A_0 \sqcup A_1$ は $A_0 \sqcup A_1 = \{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0),(a_0,1),(a_1,1),(a_2,1),(a_3,1)\}$ となります（定義ではこれを $R_2$ としています）。

普通は平面 $A_0$ 上の図形は $A_0=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$ の部分集合と考えるところですが、コピー $A^*_0=\{(a_0,0),(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0)\}$ の部分集合であるとすれば、自然に図形は $A_0 \sqcup A_1$ の部分集合となります。

$R_2$ の、 $2$ 個の平面を入れ替える写像( $2$ 個ある)と、各平面の等長変換すべてから生成される群を $E_2$ とおきます（ $2$ 個の $E$ の輪積と呼ばれるものになります）。

「等長変換すべて」を $\pi/2$ 単位回転の4つに絞って考えておきます。つまり $E=\{0,\pi/2,\pi,3\pi/2\}$ となります。ここでは $E=\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ と書いておきます。入れ替える写像とは、 $(0,1)\to(0,1)$ と $(0,1)\to(1,0)$ の2つと考えればよいでしょう。二つの写像は $F=(f_0,f_1)$ と書きましょう。